形式的べき級数の合成関数の微分って

ほんとに $(P(Q))'=P'(Q)Q'$ みたいなの成り立つんですか？
$P, Q$ を形式的べき級数とします。いつも通り $[x^n]P$ を $P$ の $x^n$ の係数、 $P'$ を $P$ の微分とします。 $Q$ は代入したいので、 $[x^0]Q = 0$ とします。 $(P^n)' = nP^{n-1}P'$ *1を用います。
示したいのは、 $(P(Q))'=P'(Q)Q'$ です。こういうのは泥臭くやると示せて、
$\begin{align} [x^n]P(Q)=\sum_{k=0}^{n}[x^k]P\cdot[x^n]Q^k\end{align}$
から、
$\begin{align} [x^n](P(Q))'&=(n+1)\sum_{k=0}^{n+1}[x^k]P\cdot[x^{n+1}]Q^k \\\\&=\sum_{k=0}^{n+1}[x^k]P\cdot (n+1)[x^{n+1}]Q^k \\\\&=\sum_{k=0}^{n+1}[x^k]P\cdot [x^n](Q^k)' \\\\&=\sum_{k=0}^{n+1}[x^k]P\cdot [x^n](kQ^{k-1}Q') \\\\&=\sum_{k=0}^{n+1}k[x^k]P\cdot \sum_{l=0}^n [x^l]Q^{k-1}\cdot [x^{n-l}]Q' \\\\&= \sum_{l=0}^n(\sum_{k=1}^{n+1}k[x^k]P\cdot [x^l]Q^{k-1}) [x^{n-l}]Q' \\\\&= \sum_{l=0}^n(\sum_{k=1}^{n+1} [x^{k-1}]P'\cdot [x^l]Q^{k-1}) [x^{n-l}]Q' \\\\&= \sum_{l=0}^n(\sum_{k=0}^{n} [x^k]P'\cdot [x^l]Q^k) [x^{n-l}]Q' \\\\&= \sum_{l=0}^n [x^l]P'(Q)\cdot [x^{n-l}]Q' \\\\&= [x^n]P'(Q)Q'\end{align}$
これは任意の $n$ について成り立つので、 $(P(Q))'=P'(Q)Q'$ が示せました。
よかったね。